解題這件瘋狂的事

         今天遇到一題高中數學題目：「一家有6個小孩，已看到其中5位是男孩，求第6位也是男孩的機率?」
         首先，以解題的角度來看，容易不假思索的回答：「就1/2阿，第6位是男是女不就是機率各半嗎?」針對第6位小孩當初被生下來的性別來說，並忽略實際因素，這是合理的看法。但這一題單純是問第6位的性別機率嗎?已經看到5位孩子是男孩這件事，會不會影響第6位是男孩的機率?
         因此，應轉而思考看到其中5位是男孩的意思。在高中的範疇裡，看到5位是男孩有以下可能性(依出生先後順序排列)：

男男男男男女

男男男男女男

男男男女男男

男男女男男男

男女男男男男

女男男男男男

男男男男男男

也就是七種情況。而我們知道，這當中每一種結果發生的機率都一樣皆為(1/2)^6。這樣才符合數數量的算法必須基於每種發生的互斥事件都是有同樣機率的前提。所以看到5位是男孩當中第6位也是男孩的條件機率會是最後一種情況除上共七種情況=1/7。
       看到這裡，不知道你是否與我一樣心生許多疑惑。當然男女生的機率是否各半值得存疑，但若不同會使此解法失效，似乎也不是「解此題時應該去想的」。還有題目用到「已看到」這個字眼，在機率論裡已發生之事實不是討論的範疇，這使得題意必須被進一步解讀成：「若先看到其中5位....」。另外，由於若是恰有一個女孩的結果，必須考慮她的出生排行，也就是看到的5位男孩是哪5個排行需區別。那麼在6個都是男孩的結果裡需要區別看到哪5個男孩嗎?看來是不用，因為6男的結果只有1種。
        這裡藏有更大的問題。它把所有小孩概分成男與女，抹去了每個人的獨特性與差異性。這是解題者在此題裡必須做的假設，不論有沒有意識到這件事。還有，解題者會遇到「看到6男中有5男」這種情況到底有幾種?認為只有1種是因為6男這種情況就是(1/2)^6的發生機率，你看不看他們，都不影響當初出生的結果。但「看到5男」的那個場合裡能不能問出每個小孩的出生排行?此題想要引導我們的，應該是這樣的題意：「在只區分孩子的性別(男或女)下，若以某種方式得知6位小孩當中某5位小孩是男孩，且不知道其出生排行，則...」
        這是台灣高中數學教育教學生的方式，給出乍看之下難以思考的題目，或是很容易騙到你使用錯誤直覺的題目，為的是逼出你做出種種排外的假設，做出技巧性的解題。於是，在題海裡學生增加了一分經驗，習得謹慎的思維去面對往後每道題目。這暗示著甚麼?

這告訴你多練習題目才是學習的正道。

這告訴你假設是好用的工具，同時你也沒有給自己發散思考的機會。

這告訴你若你沒使用類似的思路解題而導致錯誤，你就是得不到分數，你與沒有見過此題或是毫不思考的學生一樣，毫無區別。

這告訴你，你要看得懂出題者的語意!

        學習高中學科，至少以數學來講，想要達到高分的標準，勢必要依循很多現實條件，配合這些題目所規範的暗示，使自己接受，使自己成為與之一致的人。但漸漸地，你會忘了為甚麼你要做這些題目?你真正學到了甚麼?這是你想學到的東西嗎?你為何而想去追求正確的答案?...每一個問句，都是可能會失去的成長機會。